Question

【题目】综合题
（1）如图1，△ABC中， ，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC=2，BC=1，则△BCD的周长为；

（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF的周长等于AD的长．
①在图2中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②在图3中补全图形，求 的度数；
③若 ，则 的值为 ．

Answer 1

【答案】
（1）3
（2）解：①如图,△ 即为所求； ,②在AD上截取AH,使得AH=DE,连接OA、OD、OH．∵点O为正方形ABCD的中心,∴ ,, ．∴△ ≌△ ．∴ , ．∴ ．∵△ 的周长等于 的长,∴ ．∴△ ≌△ ．∴ ．,③ ．
【解析】（1） AB的垂直平分线交AC于点D，

∴BD=AD，

∴ BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC=1+2+3，

所以答案是：3

（ 2 ）③作OG CD于G，OK AD于K，如图3所示：

设AF=8t，则CE=9t，设OG=m，

∵O为正方形ABVD的中心，

∴四边形OGDK为正方形，CG=DG=DK=KA= AB=OG，

∴GE=CE-CG=9t-m，DE=2CG-CE=2m-9t，FK=AF-KA=8t-m,DF=2DK-AF=2m-8t,

由（2）②知 EOG ≌ HOF，

∴OE=OH,EF=FH,

在Rt EOG和Rt HOK中，

,

∴Rt EOG ≌Rt HOK(HL)，

∴GE=KH,

∴EF=GE+FK=9t-m+8t-m=17t-2m,

由勾股定理得：DE2+DF2=EF2，

∴（2m-9t）2+(2m-8t)2=(17t-2m)2,

整理得：(m+6t)(m-6t)=0,

∴m=6t

∴OG=OK=6t,GE=9t-m=9t-6t=3t,FK=8t-m=2t,

∴

所以答案是：

【考点精析】掌握比例的性质是解答本题的根本，需要知道基本性质；更比性质（交换比例的内项或外项）；反比性质（交换比的前项、后项）；等比性质．