Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=16，点M是对角线AC上的一个动点，过点M作PQ⊥AC交AB于点P，交AD于点Q，将△APQ沿PQ折叠，点A落在点E处，当△BCE是等腰三角形时，AP的长为

Answer 1

【答案】 或
【解析】解：连接BD交AC于O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵PQ⊥AC，AO= AC=8，

∴PQ∥BD，

∴△AMP∽△AOB，①当CE=CB时，如图1，则CE=10，AE=6，AM=3，

∵△AMP∽△AOB，

∴ = ，

∴AP= ；②当BE=EC时，如图2，点E是BC的垂直平分线与AC的交点，则CF=5，∵△CEF∽△CBO，

∴CE= = ，∴AE=16﹣ = ，

∴AM= ，

∴AP= = ；③当BC=BE时，E与A重合；

综上所述：当△BCE是等腰三角形时，AP的长为 或 ．

所以答案是： 或 ．

【考点精析】利用等腰三角形的性质和菱形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．