Question

【题目】如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），将线段AB平移至线段CD，使点A的对应点C在x轴的正半轴上，点D在第一象限．

（1）若点C的坐标（k，0），求点D的坐标（用含k的式子表示）；

（2）连接BD、BC，若三角形BCD的面积为5，求k的值；

（3）如图2，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，它们交于点P，请写出∠A、和∠P和∠BCD之间的一个等量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（k+2，2）；（2）k＝2；（3）∠BPD＝∠BCD+∠A，理由详见解析

【解析】

（1）由平移的性质可得出答案；

（2）过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，由四边形BEFD的面积可得出答案；

（3）过点P作PE∥AB得出∠PBA＝∠EPB，由平移的性质得出AB∥CD，由平行线的性质得出PE∥CD，则∠EPD＝∠PDC，得出∠BPD＝∠PBA+∠PDC，由角平分线的性质得出∠PBA＝∠ABC，∠PDC＝∠ADC，即可得出结论．

解：（1）∵点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），将线段AB平移至线段CD，

∴点B向上平移一个单位，向右平移（k+4）个单位到点D，

∴D（k+2，2）；

（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，

∵A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），D（k+2，2），

∴BE＝1，CE＝k+2，DF＝2，EF＝k+4，CF＝2，

∵S四边形BEFD＝S△BEC+S△DCF+S△BCD，

∴＝，

解得：k＝2．

（3）∠BPD＝∠BCD+∠A；理由如下：

过点P作PE∥AB，如图2所示：

∴∠PBA＝∠EPB，

∵线段AB平移至线段CD，

∴AB∥CD，

∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，

∴∠EPD＝∠PDC，

∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，

∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，

∴∠PBA＝∠ABC，∠PDC＝∠ADC，

∴∠BPD＝∠ABC+∠ADC＝∠BCD+∠A．