Question

【题目】问题提出 平面内不在同一条直线上的三点确定一个面，那么平面内的四点（任意三点均不在同一直线上），能否在同一个面上呢？
初步思考
设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O．
（1）当C、D在线段AB的同侧时．
如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB=∠ADB，理由是 ．
如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB∠ADB；
如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB∠ADB（填“=”、“＞”、“＜”）
由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件： ．
类比学习
（2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形．
由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件： ．
拓展延伸
（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？ 已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，求作：CN⊥AB
作法：①连接CA、CB
②在CB上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB；
③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点；
④连接F、E并延长，交直径AB与M；
⑤连接D、M并延长，交⊙O于N，连接CN，则CN⊥AB．
请安上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）

Answer 1

【答案】
（1）同弧所对的圆周角相等；＜；＞；当C、D在线段AB的同侧且∠ACB=∠ADB时，A、B、C、D四点在同一个圆上
（2）当C、D在线段AB的异侧且∠ACB+∠ADB=180°时，A、B、C、D四点在同一个圆上
（3）解：图⑦即为所求作．

∵AB是⊙0的直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，即BC⊥AF，AD⊥BF，

∴根据三角形的三条高交于同一点可得：FM⊥AB．

∴∠EMB=90°．

∴∠EMB+∠EDB=180°．

∴由（2）中的结论可得：点E、D、B、M在同一个圆上，如图⑦所示．

∴∠EMD=∠EBD．

∵∠CND=∠CBD，

∴∠CND=∠EMD．

∴CN∥EM．

∴∠CHB=∠EMB．

∵∠EMB=90°，

∴∠CHB=90°，即CN⊥AB．

【解析】解：（1）①如图①，根据“同弧所对的圆周角相等”得∠ACB=∠ADB． ②如图②，延长BD交⊙O于点E，
∵∠AEB=∠ACB，∠AEB＜∠ADB
∴∠ACB＜∠ADB．
③如图③，连接AF，
∵∠AFB=∠ACB，∠AFB＞∠ADB
∴∠ACB＞∠ADB．
所以答案是：同弧所对的圆周角相等、＜、＞、
当C、D在线段AB的同侧且∠ACB=∠ADB时，A、B、C、D四点在同一个圆上．
2）①如图④，
∵ 与 的度数之和等于360°，
且∠ADB的度数等于 度数的一半，
∠ACB的度数等于 度数的一半，
∴∠ACB+∠ADB=180°．
②如图⑤，延长AD交⊙O于点E，连接BE，
∵∠ACB+∠AEB=180°，∠AEB＜∠ADB，
∴∠ACB+∠ADB＞180°．
③如图⑥，连接BF，
∵∠ACB+∠AFB=180°，∠AFB＞∠ADB，
∴∠ACB+∠ADB＜180°．
所以答案是：∠ACB+∠ADB=180°、∠ACB+∠ADB＞180°、∠ACB+∠ADB＜180°．
当C、D在线段AB的异侧且∠ACB+∠ADB=180°时，A、B、C、D四点在同一个圆上．


【考点精析】通过灵活运用平行线的判定与性质和三角形的外角，掌握由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质；三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角即可以解答此题．