Question

【题目】如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG=AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．

（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；
（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=HN；
（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：存在；当点M为AC的中点时，AM=BM，则△ABM为等腰三角形；

当点M与点C重合时，AB=BM，则△ABM为等腰三角形；

当点M在AC上，且AM=2时，AM=AB，则△ABM为等腰三角形；

当点M在AC上，且AM=BM时，AM= AC= ×2 = 时，则△ABM为等腰三角形；

当点M为CG的中点时，AM=BM，则△ABM为等腰三角形；

（2）

证明：在AB上截取AK=AN，连接KN；如图1所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，AB=AD，

∴∠CDG=90°，

∵BK=AB﹣AK，ND=AD﹣AN，

∴BK=DN，

∵DH平分∠CDG，

∴∠CDH=45°，

∴∠NDH=90°+45°=135°，

∴∠BKN=180°﹣∠AKN=135°，

∴∠BKN=∠NDH，

在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB=90°，

又∵BN⊥NH，

即∠BNH=90°，

∴∠ANB+∠DNH=180°﹣∠BNH=90°，

∴∠ABN=∠DNH，

在△BNK和△NHD中，

，

∴△BNK≌△NHD（ASA），

∴BN=NH；

（3）

解：①当M在AC上时，即0＜t≤2 时，△AMF为等腰直角三角形，

∵AM=t，

∴AF=FM= t，

∴S= AFFM= × t× t= t2；

当t=2 时，S的最大值= ×（2 ）2=2；

②当M在CG上时，即2 ＜t＜4 时，如图2所示：

CM=t﹣AC=t﹣2 ，MG=4 ﹣t，

在△ACD和△GCD中，

，

∴△ACD≌△GCD（SAS），

∴∠ACD=∠GCD=45°，

∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°，

∴∠G=90°﹣∠GCD=45°，

∴△MFG为等腰直角三角形，

∴FG=MGcos45°=（4 ﹣t） =4﹣ t，

∴S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG= ×4×2﹣ ×CM×CM﹣ ×FG×FG

=4﹣ （t﹣2 ）2﹣ （4﹣ ）2=﹣ +4 t﹣8

=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴当t= 时，S的最大值为 ．

【解析】（1）四种情况：当点M为AC的中点时，AM=BM；当点M与点C重合时，AB=BM；当点M在AC上，且AM=2时，AM=AB；当点M在AC上，且AM=BM时，AM= 时；当点M为CG的中点时，AM=BM；△ABM为等腰三角形；（2）在AB上截取AK=AN，连接KN；由正方形的性质得出∠ADC=90°，AB=AD，∠CDG=90°，得出BK=DN，先证出∠BKN=∠NDH，再证出∠ABN=∠DNH，由ASA证明△BNK≌△NHD，得出BN=NH即可；（3）①当M在AC上时，即0＜t≤2 时，△AMF为等腰直角三角形，得出AF=FM= t，求出S= AFFM= t2；当t=2 时，即可求出S的最大值；
②当M在CG上时，即2 ＜t＜4 时，先证明△ACD≌△GD，得出∠ACD=∠GCD=45°，求出∠ACM=90°，证出△MFG为等腰直角三角形，得出FG=MGcos45°=4﹣ t，得出S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG ， S为t的二次函数，即可求出结果．