Question

【题目】如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：① AD∥BC；② ∠ACB＝2∠ADB；③ ∠ADC＝90°－∠ABD；④ BD平分∠ADC；⑤ 2∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有 （　　）

A. ①②④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤

Answer 1

【答案】C

【解析】试题解析：(1)∵AD平分△ABC的外角∠EAC,

∴∠EAD=∠DAC，

∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，

∴∠EAD=∠ABC，

∴ADBC，

故①正确.

(2)由(1)可知ADBC,

∴∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABC=2∠ADB，

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠ACB=2∠ADB，

故②正确.

(3)在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180，

∵CD平分△ABC的外角∠ACF，

∴∠ACD=∠DCF，

∵ADBC，

∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB

∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，

故③正确，

(4)如果BD平分∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形，

∵∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

∴四边形ABCD是菱形，

∴只有在△ABC是正三角形时才有BD平分∠ADC.

故④错误.

(5)∵∠BAC+∠ABC=∠ACF，

故⑤正确.

故选C.