Question

【题目】已知ABCD的一组邻边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣4x+m=0的两个实根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？

（2）在第（1）问的前提下，若∠ABC=60°，求ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）当m=4时，四边形ABCD是菱形；（2）2．

【解析】

试题分析：（1）四边形ABCD是菱形时，AB=AD，由一元二次方程根的判别式=0即可求出m的值；

（2）连接AC、BD交于点O，由一元二次方程的根求出AB的长，进一步利用菱形的性质和30°角的直角三角形的性质求得对角线的长，利用面积计算方法计算得出答案即可．

解：（1）四边形ABCD是菱形时，AB=AD，

∵AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+4=0的两个实数根，

∴△=（﹣4）2﹣4m=0，

解得：m=4，

∴当m=4时，四边形ABCD是菱形

（2）如图，连接AC、BD交于点O，

当m=4时，

x2﹣4x+4=0，

解得：x1=x2=2，

则AB=2，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴∠ABO=∠ABC=30°，

D═2OB，AC=2OA，AC⊥BD，

在直角△AOB中，

∵∠ABO=30°，

∴OA=AB=1，

0B=，

BD=2OB=2，

AC=2OA=2，

∴S菱形ABCD=BDAC=×2×2=2．