Question

【题目】如图1，抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于点A，C，与y轴相交于点B，连接AB，BC，点A的坐标为（2，0），tan∠BAO=2，以线段BC为直径作⊙M交AB于点D，过点B作直线l∥AC，与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）求点C的坐标和线段EF的长；

（3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N，点P，Q为射线NB上的两个动点（点P在点Q的右侧，且不与N重合），线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=-x2-x+4．（2）2．（3）2+2+2．

【解析】

试题分析：（1）根据点A的坐标和tan∠BAO=2求得AO=2，BO=4，从而求得点B的坐标为（0，4），利用待定系数法求得二次函数的解析式即可．

（2）首先根据抛物线的对称轴求得点A的对称点C的坐标，然后求得点B的对称点E的坐标为（-1，4），从而求得BE的长，得到EF的长即可；

（3）作点D关于直线l的对称点D1（1，6），点C向右平移2个单位得到C1（-1，0），连接C1D1与直线l交于点P，点P向左平移两个单位得到点Q，四边形CDPQ即为周长最小的四边形．

试题解析：（1）∵点A（2，0），tan∠BAO=2，

∴AO=2，BO=4，

∴点B的坐标为（0，4）．

∵抛物线y=-x2+bx+c过点A，B，

∴，

解得，

∴此抛物线的解析式为y=-x2-x+4．

（2）∵抛物线对称轴为直线x=-，

∴点A关于对称轴的对称点C的坐标为（-3，0），

点B的对称点E的坐标为（-1，4），

∵BC是⊙M的直径，

∴点M的坐标为（-，2），

如图1，过点M作MG⊥FB，则GB=GF，

∵M（-，2），

∴BG=，

∴BF=2BG=3，

∵点E的坐标为（-1，4），

∴BE=1，

∴EF=BF-BE=3-1=2．

（3）四边形CDPQ的周长有最小值．

理由如下：∵BC===5，

AC=CO+OA=3+2=5，

∴AC=BC，

∵BC为⊙M直径，

∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，

∴D为AB中点，

∴点D的坐标为（1，2）．

如图2，作点D关于直线l的对称点D1（1，6），点C向右平移2个单位得到C1（-1，0），连接C1D1与直线l交于点P，点P向左平移2个单位得到点Q，四边形CDPQ即为周长最小的四边形．

设直线C1D1的函数表达式为y=mx+n（m≠0），

∴，，

∴直线C1D1的表达式为y=3x+3，

∵yp=4，

∴xp=，

∴点P的坐标为（，4）；

C四边形CDPQ最小=2+2+2．