Question

【题目】如图，在△ABC中，点B，C是x轴上的两个定点，∠ACB=90°，AC=BC，点A（l，3），点P是x轴上的一个动点，点E是AB的中点，在△PEF中，∠PEF=90°，PE=EF

（1）如图1，当点P与坐标原点重合时：①求证△PCE≌△FBE；②求点F的坐标；
（2）如图2，当点P在线段CB上时，求证S△CPE=S△AEF
（3）如图3，当点P在线段CB的延长线时，若S△AEF=4S△PBE则此刻点F的坐标为

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1中，

①∵A（1，3），B（4，0），

∴AC=BC=3，△ACB是等腰直角三角形，

∵AE=EB，

∴CE=AE=EB，CE⊥AB，∠ECB=∠EBC=45°，

∴∠CEB=∠OEF=90°，∠ECO=135°，

∴∠OEC=∠FEB，∵OE=EF，EC=EB，

∴△EOC≌△EFB，即△PCE≌△FBE．．

②∵△PCE≌△FBE．

∴OC=BF=1，∠EBF=∠OCE=135°，

∴∠OBF=90°，

∴BF⊥OB，

∴F（4，﹣1）

（2）

证明：如图2中，作PM⊥CE于M，FN⊥EB于N．

由（1）可知∠OEC=∠FEB，OE=EF，EC=EB，

∴△ECP≌△EBF，

∵PM⊥CE于M，FN⊥EB于N，

∴PM=FN（全等三角形对应边上的高相等），

∵S△CPE= CEPM，S△AEF= AEFN，

∵CE=AE，PM=NF，

∴S△CPE=S△AEF

（3）（4，4）
【解析】（3）解：如图3中，

由（2）可知△ECP≌△EBF，推出PC=BF，BF⊥CP，
∵S△CPE=S△AEF ， S△AEF=4S△PBE ，
∴S△CPE=4S△PBE ，
∴PC=4PB，
∴BC=3PB，PB=1，PC=4，
∴BF=PC=4，
∴点F坐标为（4，4）．
所以答案是（4，4）．
【考点精析】解答此题的关键在于理解全等三角形的性质的相关知识，掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等．