Question

【题目】如图，以三角形ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于F，若AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线：
（2）若BF=8，DF= ，求⊙O的半径r．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OA、OD，

∵D为弧BE的中点，

∴OD⊥BC，

∠DOF=90°，

∴∠D+∠OFD=90°，

∵AC=FC，OA=OD，

∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，

∵∠CFA=∠OFD，

∴∠OAD+∠CAF=90°，

∴OA⊥AC，

∵OA为半径，

∴AC是⊙O切线；

（2）解：∵⊙O半径是r，

∴OD=r，OF=8-r，

在Rt△DOF中，r2+（8-r）2=（ ）2，

r=6，r=2（舍），

当r=2时，OB=OE=2，OF=BF-OB=8-2=6＞OE，

∴r=2舍去；

即⊙O的半径r为6．

【解析】（1）连接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根据切线的判定推出即可；（2）OD=r，OF=8-r，在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程r2+（8-r）2=（ ）2 ， 求出即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用切线的判定定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．