Question

【题目】如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的代数式表示a；
（2）求证： 为定值；
（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将C（0，﹣3）代入二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2），

则﹣3=a（0﹣0﹣3m2），

解得 a= ．

（2）

方法一：

证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．

由a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，

解得 x1=﹣m，x2=3m，

则 A（﹣m，0），B（3m，0）．

∵CD∥AB，

∴D点的纵坐标为﹣3，

又∵D点在抛物线上，

∴将D点纵坐标代入抛物线方程得D点的坐标为（2m，﹣3）．

∵AB平分∠DAE，

∴∠DAM=∠EAN，

∵∠DMA=∠ENA=90°，

∴△ADM∽△AEN．

∴ = = ．

设E坐标为（x， ），

∴ = ，

∴x=4m，

∴E（4m，5），

∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，

∴ = = ，即为定值．

方法二：

过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N，

∵a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，

∴x1=﹣m，x2=3m，

则A（﹣m，0），B（3m，0），

∵CD∥AB，∴D点的纵坐标为﹣3，∴D（2m，﹣3），

∵AB平分∠DAE，∴KAD+KAE=0，

∵A（﹣m，0），D（2m，﹣3），

∴KAD= =﹣ ，∴KAE= ，

∴ x2﹣3mx﹣4m2=0，

∴x1=﹣m（舍），x2=4m，∴E（4m，5），

∵∠DAM=∠EAN=90°

∴△ADM∽△AEN，

∴ ，

∵DM=3，EN=5，

∴ ．

（3）

解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，﹣4），过点F作FH⊥x轴于点H．

连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．

∵tan∠CGO= ，tan∠FGH= ，

∴ = ，

∴ ，

∵OC=3，HF=4，OH=m，

∴OG=3m．

∵GF= = =4 ，

AD= = =3 ，

∴ = ．

∵ = ，

∴AD：GF：AE=3：4：5，

∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为﹣3m

【解析】（1）由C在二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）上，则其横纵坐标必满足方程，代入即可得到a与c的关系式．（2）求证 为定值，一般就是计算出AD、AE的值，然后相比．而求其长，过E、D作x轴的垂线段，进而通过设边长，利用直角三角形性质得方程求解，是求解此类问题的常规思路，如此易得定值．（3）要使线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，且（2）中 = ，则可考虑若GF使得AD：GF：AE=3：4：5即可．由AD、AE、F点都易固定，且G在x轴的负半轴上，则易得G点大致位置，可连接CF并延长，证明上述比例AD：GF：AE=3：4：5即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．