Question

【题目】如图①，ΔABC中，AD⊥BC于点D,以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ΔABC外作等腰RtΔABE和等腰RtΔACF，过点E、F作射线DA的垂线，垂足分别为Q、P.

(1)试探究线段EQ和FP之间的数量关系，并说明理由.

(2)如图②，若连接EF交DA的延长线于点H，由(1)中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由.

(3)图②中的ΔABC与ΔAEF的面积相等吗？(直接给出结论，不需要说理)

Answer 1

【答案】（1）EQ＝FP，理由见解析；（2）HE＝HF，理由见解析；（3）相等，理由见解析.

【解析】

（1）根据AAS得出△EAQ≌△ABD，可得EQ＝AD，同理AD＝FP，由此可得结论；

（2）过点E作EQ⊥DA，过点F作FP⊥DA，垂足分别为Q、P．根据AAS证明△EQH≌△FPH即可；

（3）由（1）、（2）中的全等三角形可以推得△ABC与△AEF的面积相等．

解：（1）EQ＝FP，理由如下：

如图1，∵Rt△ABE是等腰三角形，∴EA＝BA．

∵∠QEA+∠QAE＝90°，∠QAE+∠BAD＝90°，

∴∠QEA＝∠BAD.

在△EAQ与△ABD中，

，

∴△EAQ≌△ABD（AAS），

∴EQ＝AD．

同理AD＝FP．

∴EQ＝FP．

（2）HE＝HF，理由如下：

如图2，过点E作EQ⊥DA，过点F作FP⊥DA，垂足分别为Q、P．

由（1）知EQ＝FP．

在△EQH与△FPH中，

∵，

∴△EQH≌△FPH（AAS）．

∴HE＝HF；

（3）相等．理由如下：

由（1）知，△ABD≌△EAQ，△FPA≌△ADC，则S△ABD＝S△EAQ，S△FPA＝S△ADC．

由（2）知，△EQH≌△FPH，则S△EQH＝S△FPH，

所以S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝S△EAQ﹣S△EQH+S△FPA﹣S△FPH＝S△EAH+S△FHA＝S△AEF，即S△ABC＝S△AEF．

故图②中的△ABC与△AEF的面积相等．