Question

【题目】如图1，四边形ABCD中，BD⊥AD，E为BD上一点，AE＝BC，CE⊥BD，CE＝ED

（1）已知AB＝10，AD＝6，求CD；

（2）如图2，F为AD上一点，AF＝DE，连接BF，交BF交AE于G，过G作GH⊥AB于H，∠BGH＝75°．求证：BF＝2GH+EG．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）证明见解析

【解析】

（1）由勾股定理得出BD＝＝8，由HL证得Rt△ADE≌Rt△BEC，得出BE＝AD，则CE＝ED＝BD﹣BE＝BD﹣AD＝2，由等腰直角三角形的性质即可得出结果；

（2）连接CF，易证AF＝CE，AD∥CE，得出四边形AECF是平行四边形，则AE＝CF，AE∥CF，得出∠CFD＝∠EAD，∠CFB＝∠AGF，由Rt△ADE≌Rt△BEC，得出∠CBE＝∠EAD，推出∠CBE＝∠CFD，证得△BCF是等腰直角三角形，则BF＝BC＝CF＝AE，∠FBC＝∠BFC＝45°，推出∠AGF＝45°，∠AGH＝60°，∠GAH＝30°，则AG＝2GH，得出BF＝AE＝（AG+EG），即可得出结论．

（1）解：∵BD⊥AD，

∴BD＝＝＝8，

∵CE⊥BD，

∴∠CEB＝∠EDA＝90°，

在Rt△ADE和Rt△BEC中，，

∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL），

∴BE＝AD，

∴CE＝ED＝BD﹣BE＝BD﹣AD＝8﹣6＝2，

∴CD＝CE＝2；

（2）解：连接CF，如图2所示：

∵AF＝DE，DE＝CE，

∴AF＝CE，

∵BD⊥AD，CE⊥BD，

∴AD∥CE，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE＝CF，AE∥CF，

∴∠CFD＝∠EAD，∠CFB＝∠AGF，

由（1）得：Rt△ADE≌Rt△BEC，

∴∠CBE＝∠EAD，

∴∠CBE＝∠CFD，

∵∠FBD+∠BFC+∠CFD＝90°，

∴∠FBD+∠BFC+∠CBE＝90°，

∴∠BCF＝90°，

∵AE＝BC，

∴BC＝CF，

∴△BCF是等腰直角三角形，

∴BF＝BC＝CF＝AE，∠FBC＝∠BFC＝45°，

∴∠AGF＝45°，

∵∠BGH＝75°，

∴∠AGH＝180°﹣45°﹣75°＝60°，

∵GH⊥AB，

∴∠GAH＝30°，

∴AG＝2GH，

∴BF＝AE＝（AG+EG），

∴BF＝2GH+EG．