Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点.

(1)求这个二次函数以及直线BC的解析式；

(2)直接写出点A的坐标；

(3)当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值.

Answer 1

【答案】(1) , ;(2) （-1,0）;(3) 0＜x＜3时

【解析】试题分析：

(1) 由于点B与点C既在一次函数的图象上又在二次函数的图象上. 考虑运用待定系数法确定这两个函数的解析式. 先将该一次函数的解析式设为一次函数的一般形式，再将点B与点C的坐标代入所设的解析式中得到关于待定系数的方程组，解这个方程组可以确定各待定系数的值，进而确定一次函数的解析式. 由于二次函数解析式的形式已经给出，所以将点B与点C的坐标代入该解析式并求得系数b和c的值，进而得到二次函数的解析式.

(2) 由于该二次函数的图象与x轴交于A与B两点，所以将y=0代入二次函数的解析式并求得相应的x的值. 根据点B的坐标，判断对应于点A坐标的x值，进而求得点A的坐标.

(3) 若一次函数的值大于二次函数的值，则该一次函数的相应图象应该在该二次函数相应图象的上方. 根据上述结论，观察本题给出的函数图象可知，一次函数图象在点C与点B之间的部分位于二次函数图象相应部分的上方. 根据点C与点B的横坐标即可得到符合题意的x的取值范围.

试题解析：

(1) 设直线BC的解析式为y=kx+b1.

由题意知，点B(3, 0)和点C(0, -3)在直线BC上，故将点B和点C的坐标分别代入直线BC的解析式，得

，

解之，得

.

∴直线BC的解析式为y=x-3.

由题意知，点B(3, 0)和点C(0, -3)在二次函数的图象上，故将点B和点C的坐标分别代入二次函数的解析式，得

，

解之，得

.

∴该二次函数的解析式为y=x2-2x-3.

综上所述，该二次函数的解析式为y=x2-2x-3，直线BC的解析式为y=x-3.

(2) 点A的坐标为(-1, 0). 具体求解过程如下.

根据题意，将y=0代入该二次函数的解析式，得

x2-2x-3=0，

解这个关于x的一元二次方程，得

x1=3，x2=-1.

∵点B的坐标为(3, 0)，

∴点A的坐标为(-1, 0).

(3) 由函数的图象可知，在位于点C与点B之间的部分图象中，一次函数的图象在二次函数图象的上方.

∵点B的坐标为(3, 0)和点C的坐标为(0, -3)，

∴当0<x<3时，一次函数的值大于二次函数的值.