Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正确的有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，易证得CE⊥DF与AH⊥DF，根据垂直平分线的性质，即可证得AG＝AD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG＝AD，根据等腰三角形的性质，即可得∠CHG＝∠DAG．则问题得解．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，

∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，

∴BE＝CF，

在△BCE与△CDF中，

∴△BCE≌△CDF，（SAS），

∴∠ECB＝∠CDF，

∵∠BCE+∠ECD＝90°，

∴∠ECD+∠CDF＝90°，

∴∠CGD＝90°，

∴CE⊥DF，故①正确；

在Rt△CGD中，H是CD边的中点，

∴HG＝CD＝AD，故④正确；

连接AH，

同理可得：AH⊥DF，

∵HG＝HD＝CD，

∴DK＝GK，

∴AH垂直平分DG，

∴AG＝AD，故②正确；

∴∠DAG＝2∠DAH，

同理：△ADH≌△DCF，

∴∠DAH＝∠CDF，

∵GH＝DH，

∴∠HDG＝∠HGD，

∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，

∴∠CHG＝∠DAG．故③正确．

故选：D．