Question

【题目】已知：在△PAB的边PA、PB上分别取点C、D，连接CD使CD∥AB．将△PCD绕点P按逆时针方向旋转得到△PC′D′（∠APC′＜∠APB），连接AC′、BD′．

（1）如图1， 若∠APB=90°，PA=PB，求证：AC′=BD′；AC′⊥BD′．

（2）在图1中，连接AD′、BC′，分别取AB、AD′、C′D′、BC′的中点E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH．请判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
（3）①如图2， 若改变（1）中∠APB的大小，使0°＜∠APB＜90°，其他条件不变，重复（2）中操作．请你直接判断四边形EFGH的形状．

②如图3，若改变（1）中PA、PB的大小关系，使PA＜PB，其他条件不变，重复（2）中操作，请你直接判断是四边形EFGH的形状．

Answer 1

【答案】
（1）

解：延长AC′交BD′于点M，

∵∠APB=90°，

∴∠PAB+∠PBA=90°．

∵PA=PB，

∴∠PAB=∠PBA．

∵CD∥AB，

∴∠PCD=∠PAB，∠PBA=∠PDC，

∴∠PCD=∠PDC，

∴PC=PD．

∵将△PCD绕点P按逆时针方向旋转得到△PC′D′，

∴∠APB=∠C′PD′，PC′=PC，PD′=PD．

∴∠APB﹣∠C′PB=∠C′PD′﹣∠C′PB，PC′=PD′．

∴∠APC′=∠BPD′．

在△AC′P和△BD′P中，

，

∴△AC′P≌△BD′P（SAS），

∴AC′=BD′，∠PAC′=∠PBD′．

∵∠PAC′+∠BAC′+∠ABP=90°，

∴∠BAC′+∠ABP+∠PBD′=90°，

∴∠MAB+∠ABM=90°，

∴∠AMB=90°，

∴AC′⊥BD′．

∴AC′=BD′；AC′⊥BD′；

（2）

解：四边形EFGH是正方形．

∵点E、F、G、H分别是AB、AD′、C′D′、BC′的中点，

∴EF=GH= BD′，GF=EH= AC′，EF∥BD′，EH∥AM，

∴∠AEF=∠ABM，∠BEH=∠BAM，

∴∠AEF+∠BEH=90°，

∴∠FEH=90°

∵AC′=BD′，

∴EF=FG=GH=HE，

∴四边形EFGH是正方形

（3）

解：①四边形EFGH是菱形．

∵PA=PB，

∴∠PAB=∠PBA．

∵CD∥AB，

∴∠PCD=∠PAB，∠PBA=∠PDC，

∴∠PCD=∠PDC，

∴PC=PD．

∵将△PCD绕点P按逆时针方向旋转得到△PC′D′，

∴∠APB=∠C′PD′，PC′=PC，PD′=PD．

∴∠APB﹣∠C′PB=∠C′PD′﹣∠C′PB，PC′=PD′．

∴∠APC′=∠BPD′．

在△AC′P和△BD′P中，

，

∴△AC′P≌△BD′P（SAS），

∴AC′=BD′．

∵点E、F、G、H分别是AB、AD′、C′D′、BC′的中点，

∴EF=GH= BD′，GF=EH= AC′，

∵AC′=BD′，

∴EF=FG=GH=HE，

∴四边形EFGH是菱形；

②四边形EFGH是矩形．

如图3，

延长AC′交BD′于点M，

∵将△PCD绕点P按逆时针方向旋转得到△PC′D′，

∴∠APB=∠C′PD′，PC′=PC，PD′=PD．

∴∠APB﹣∠C′PB=∠C′PD′﹣∠C′PB，．

∴∠APC′=∠BPD′．

∵CD∥AB，

∴ ，

∴ ．

∴△AC′P∽△BD′P，

∴∠PAC′=∠PBD′．

∵∠APB=90°，

∴∠PAC′+∠BAC′+∠ABP=90°，

∴∠BAC′+∠ABP+∠PBD′=90°，

∴∠MAB+∠ABM=90°．

∵点E、F、G、H分别是AB、AD′、C′D′、BC′的中点，

∴EF=GH= BD′，GF=EH= AC′，EF∥BD′，EH∥AM，

∴四边形EFGH是平行四边形．∠AEF=∠ABM，∠BEH=∠BAM，

∴∠AEF+∠BEH=90°，

∴∠FEH=90°，

∴平行四边形EFGH是矩形．

【解析】（1）延长AC′交BD′于点M，由旋转的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出△AC′P≌△BD′P就可以得出AC′=BD′，∠PAC′=∠PBD′，由∠PAC′+∠BAC′+∠ABP=90°，就可以得出∠BAC′+∠ABP+∠PBD′=90°，即∠MAB+∠ABM=90°，就有∠AMB=90°，得出AC′⊥BD′；（2）根据三角形的中位线的性质就可以得出EF=GH= BD′，GF=EH= AC′，由AC′=BD′就可以得出EF=FG=GH=HE，由平行线的性质就可以得出∠AEF=∠ABM，∠BEH=∠BAM，就可以得出∠FEH=90°，进而得出四边形EFGH是正方形；（3）①由条件可以得出△AC′P≌△BD′P，就可以得出AC′=BD′，根据三角形的中位线的性质就可以得出EF=GH= BD′，GF=EH= AC′，由AC′=BD′就可以得出EF=FG=GH=HE，就有四边形EFGH是菱形； ②延长AC′交BD′于点M，由旋转的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出△AC′P∽△BD′P，就有∠PAC′=∠PBD′，就有∠MAB+∠ABM=90°，根据三角形的中位线的性质就可以得出EF=GH= BD′，GF=EH= AC′，就可以得出四边形EFGH是矩形．