Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，﹣2）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；
（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME=∠BDC，当CN的值最大时，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），

∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣4），

把（0，﹣2）代入y=a（x+1）（x﹣4），

∴a= ，

∴抛物线的解析式为：y= x2﹣ x﹣2

（2）

解：当△PBH与△AOC相似时，

∴△AOC是直角三角形，

∴△PBH也是直角三角形，

由题意知：H（0，2），

∴OH=2，

∵A（﹣1，0），B（4，0），

∴OA=1，OB=4，

∴

∵∠AOH=∠BOH，

∴△AOH∽△BOH，

∴∠AHO=∠HBO，

∴∠AHO+∠BHO=∠HBO+∠BHO=90°，

∴∠AHB=90°，

设直线AH的解析式为：y=kx+b，

把A（﹣1，0）和H（0，2）代入y=kx+b，

∴ ，

∴解得 ，

∴直线AH的解析式为：y=2x+2，

联立 ，

解得：x=1或x=﹣8，

当x=﹣1时，

y=0，

当x=8时，

y=18

∴P的坐标为（﹣1，0）或（8，18）

（3）

解：过点M作MF⊥x轴于点F，

设点E的坐标为（n，0），M的坐标为（m，0），

∵∠BME=∠BDC，

∴∠EMC+∠BME=∠BDC+∠MBD，

∴∠EMC=∠MBD，

∵CD∥x轴，

∴D的纵坐标为﹣2，

令y=﹣2代入y= x2﹣ x﹣2，

∴x=0或x=3，

∴D（3，﹣2），

∵B（4，0），

∴由勾股定理可求得：BD= ，

∵M（m，0），

∴MD=3﹣m，CM=m（0≤m≤3）

∴由抛物线的对称性可知：∠NCM=∠BDC，

∴△NCM∽△MDB，

∴ ，

∴ ，

∴CN= =﹣ （m﹣ ）2+ ，

∴当m= 时，CN可取得最大值，

∴此时M的坐标为（ ，﹣2），

∴MF=2，BF= ，MD=

∴由勾股定理可求得：MB= ，

∵E（n，0），

∴EB=4﹣n，

∵CD∥x轴，

∴∠NMC=∠BEM，∠EBM=∠BMD，

∴△EMB∽△BDM，

∴ ，

∴MB2=MDEB，

∴ = ×（4﹣n），

∴n=﹣ ，

∴E的坐标为（﹣ ，0）．

【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），然后将（0，﹣2）代入解析式即可求出a的值；（2）当△PBH与△AOC相似时，△PBH是直角三角形，由 可知∠AHB=90°，所以求出直线AH的解析式后，联立一次函数与二次函数的解析式后即可求出P的坐标；（3）设M的坐标为（m，0），由∠BME=∠BDC可知∠EMC=∠MBD，所以△NCM∽△MDB，利用对应边的比相等即可得出CN与m的函数关系式，利用二次函数的性质即可求出m= 时，CN有最大值，然后再证明△EMB∽△BDM，即可求出E的坐标．本题考查函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，联立解析式求交点坐标，相似三角形判定与性质，二次函数最值等知识，内容较为综合，需要学生灵活运用知识去解决问题．