Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）以AD为边作正方形ADEF，使∠DAF=∠BAC，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD=CF；

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上，且∠BAC=90°时．

①问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②延长BA交CF于点G，连接GE，若AB=2 ，CD=BC，请求出GE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：菱形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB与△FAC中， ，

∴△DAB≌△FAC（SAS），

∴BD=CF

（2）

解：①（1）中的结论仍然成立；理由如下：

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF

在△DAB与△FAC中， ，

∴△DAB≌△FAC（SAS），

∴BD=CF；

②过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图所示：

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴BC= AB=4，AH=BH=HC=2，

∴CD=BC=4，

∴DH=6，CF=BD=8，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=DE，∠ADE=90°，

∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，

∴四边形CMEN是矩形，

∴NE=CM，EM=CN，

∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°，

∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，

∴∠ADH=∠DEM，

在△ADH与△DEM中， ，

∴△ADH≌△DEM（AAS），

∴EM=DH=6，DM=AH=2，

∴CN=EM=6，EN=CM=6，

∵∠ABC=45°，

∴∠BGC=45°，

∴△BCG是等腰直角三角形，

∴CG=BC=4，

∴GN=2，

∴GE= = =2 ．

【解析】（1）由SAS证明△DAB≌△FAC，得出对应边相等即可；（2）①由SAS证明△DAB≌△FAC，得出对应边相等即可；②过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，证出∠ADH=∠DEM，由AAS证明△ADH≌△DEM，得出EM=DH=6，DM=AH=2，得出CN=EM=6，EN=CM=6，证出△BCG是等腰直角三角形，得出CG=BC=4，求出GN=2，由勾股定理求出GE的长即可．