Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BGBA=48，FG= ，DF=2BF，求AH的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接CD，

∵BD是直径，

∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，

∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，

∴∠CBD+∠EBC=90°，

∴BE⊥BD，

∴BE是⊙O切线．

（2）

解：∵CG∥EB，

∴∠BCG=∠EBC，

∴∠A=∠BCG，

∵∠CBG=∠ABC

∴△ABC∽△CBG，

∴ ，即BC2=BGBA=48，

∴BC=4 ，

∵CG∥EB，

∴CF⊥BD，

∴△BFC∽△BCD，

∴BC2=BFBD，

∵DF=2BF，

∴BF=4，

在RT△BCF中，CF= =4 ，

∴CG=CF+FG=5 ，

在RT△BFG中，BG= =3 ，

∵BGBA=48，

∴ 即AG=5 ，

∴CG=AG，

∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，

∴∠CHF=∠CBF，

∴CH=CB=4 ，

∵△ABC∽△CBG，

∴ ，

∴AC= ，

∴AH=AC﹣CH= ．

【解析】（1）欲证明BE是⊙O的切线，只要证明∠EBD=90°．
　　　　（2）由△ABC∽△CBG，得 = 求出BC，再由△BFC∽△BCD，得BC2=BFBD求出BF，CF，CG，GB，再通过计算发现CG=AG，进而可以证明CH=CB，求出AC即可解决问题．本题考查切线的判定、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质、勾股定理．等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是巧妙利用相似三角形的性质解决问题，属于中考压轴题．