Question

【题目】在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB平分线，BD，CE相交于点P．

（1）如图1，如果∠A=60°，∠ACB=90°，则∠BPC=　；

（2）如图2，如果∠A=60°，∠ACB不是直角，请问在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．

（3）小月同学在完成（2）之后，发现CD、BE、BC三者之间存在着一定的数量关系，于是她在边CB上截取了CF=CD，连接PF，可证△CDP≌△CFP，请你写出小月同学发现，并完成她的说理过程．

Answer 1

【答案】(1) 120°； (2) 成立 (3) BC=CD+BE

【解析】

（1）先根据三角形内角和定理求出∠ABC=30，再用角平分线的意义求出∠PCB=45°，∠PBC=15°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论；
（2）先根据角平分线的意义，求出∠ACB=2∠PCB，∠ABC=2∠PBC，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，最后用三角形内角和定理即可得出结论；
（3）先判断出△DCP≌△FCP（SAS），得出CD=CF，∠DPC=∠FPC=60°，进而判断出∠PBF=∠PBE，即可判断出△FPB≌△EPB，最后用等量代换即可得出结论．

解：（1）∵∠A=60°，∠ACB=90°，根据三角形内角和定理得，∠ABC=180°﹣60°﹣90°=30°，

∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB平分线，

∴∠PCB=∠ACB=45°，∠PBC=∠PBC=15°，

在△PBC中，根据三角形的内角和定理得，∠BPC=180°﹣∠PCB﹣∠PBC=180°﹣45°﹣15°=120°，

（2）结论仍然成立，

理由：∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB平分线，

∴∠ACB=2∠PCB，∠ABC=2∠PBC，

∵∠A=60°，

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=120°，

∴2∠PCB+2∠PBC=120°，

∴∠PCB+∠PBC=60°，

在△PBC中，∠BPC+∠PCB+∠PBC=180°，

∴∠BPC=180°﹣（∠PCB+∠PBC）=180°﹣60°=120°

（3）BC=CD+BE，理由：如图2，

由（2）知，∠BPC=120°，

∴∠DPC=∠EPB=60°，在边CB上截取了CF=CD，连接PF，

∵CE是∠ACB的平分线，

∴∠DCP=∠FCP，

在△DCP和△FCP中，

，

∴△DCP≌△FCP（SAS），

∴CD=CF，∠DPC=∠FPC=60°，

∴∠BPC=∠BPC﹣∠FPC=60°=∠EPB，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠PBF=∠PBE，

在△FPB和△EPB中，

，

∴△FPB≌△EPB，BF=BE，

∴BC=CF+BF=CD+BE．