Question

【题目】已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．

（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；
（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．
①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；
②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1中

，

∵CA=CB，∠ACB=90°，

∴∠A=∠ABC=45°，

∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到，α=90°，

∴CB与CE重合，

∴∠CBE=∠A=45°，

∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，

∵BG=AD=BF，

∴∠BGF=∠BFG=45°，

∴∠A=∠BGF=45°，

∴GF∥AC．

（2）

解：①如图2中

，

∵CA=CE，CD=CF，

∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，

∵∠ACD=∠ECF，

∴∠ACE=∠CDF，

∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，

∴∠CAE=∠CDF，

∴A、D、M、C四点共圆，

∴∠CMF=∠CAD=45°，

∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．

②如图3中

，

O是AC中点，连接OD、CM．

∵AD=DB，CA=CB，

∴CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

由①可知A、D、M、C四点共圆，

∴当α从90°变化到180°时，

点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，

∵OA=OC，CD=DA，

∴DO⊥AC，

∴∠DOC=90°，

∴ 的长= ．

∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为 ．

【解析】（1）欲证明GF∥AC，只要证明∠A=∠FGB即可解决问题．（2）①先证明A、D、M、C四点共圆，得到∠CMF=∠CAD=45°，即可解决问题．②利用①的结论可知，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即可解决问题．本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰直角三角形的相关知识，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．