Question

【题目】如图，∠BAC的平分线交AABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．

（1）求证：DE=DB.

（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径；

（3）若BD=6，DF=4，求AD的长

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2 （3）9

【解析】

（1）通过证明∠BED=∠DBE得到DB=DE；
（2）连接CD，如图，证明△DBC为等腰直角三角形得到BC=BD=4，从而得到△ABC外接圆的半径；
（3）证明△DBF∽△ADB，然后利用相似比求AD的长．

（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABD，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠BED=∠1+∠3=∠2+∠4=∠5+∠4=∠DBE，

∴DB=DE；

（2）解：连接CD，如图，

∵∠BAC=90°，

∴BC为直径，

∴∠BDC=90°，

∵∠1=∠2，

∴DB=BC，

∴△DBC为等腰直角三角形，

∴BC=BD=4，

∴△ABC外接圆的半径为2；

（3）解：∵∠5=∠2=∠1，∠FDB=∠BDA，

∴△DBF∽△ADB，

∴=，即=，

∴AD=9．