Question

【题目】（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3）108.

【解析】

试题分析：（1）由四边形是ABCD正方形，易证得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF；

（2）首先延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易证得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可证得△ECG≌△FCG，继而可得GE=BE+GD；

（3）首先过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，继而求得直角梯形ABCD的面积．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，

∵∠ADC=90°，

∴∠FDC=90°．

∴∠B=∠FDC，

∵BE=DF，

∴△CBE≌△CDF（SAS）．

∴CE=CF．

（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF．

由（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE=∠DCF．

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，

即∠ECF=∠BCD=90°，

又∠GCE=45°，

∴∠GCF=∠GCE=45°．

∵CE=CF，GC=GC，

∴△ECG≌△FCG．

∴GE=GF，

∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．

（3）解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．

在直角梯形ABCD中，

∵AD∥BC，

∴∠A=∠B=90°，

又∵∠CGA=90°，AB=BC，

∴四边形ABCG为正方形．

∴AG=BC．

∵∠DCE=45°，

根据（1）（2）可知，ED=BE+DG．

∴10=4+DG，

即DG=6．

设AB=x，则AE=x-4，AD=x-6，

在Rt△AED中，

∵DE2=AD2+AE2，即102=（x-6）2+（x-4）2．

解这个方程，得：x=12或x=-2（舍去）．

∴AB=12．

∴S梯形ABCD=（AD+BC）AB=×（6+12）×12=108．

即梯形ABCD的面积为108．