Question

【题目】已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2=0
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵方程x2+（8﹣4m）x+4m2=0有两个相等实根，

∴△=（8﹣4m）2﹣4×1×4m2=64﹣64m=0，

解得：m=1，

∴原方程为x2+4x+4=0，

解得：x1=x2=﹣2．

答：m的值为1，此方程的根为﹣2

（2）解：假设存在，设方程两根为x1，x2，

则有x1+x2=4m﹣8，x1x2=4m2，

∴ = ﹣2x1x2=（4m﹣8）2﹣2×4m2=8m2﹣64m+64=136，

解得：m1=﹣1，m2=9．

∵方程有实数根，

∴△=（8﹣4m）2﹣4×1×4m2=64﹣64m≥0，

∴m≤1，

∴m的值为﹣1．

【解析】（1）根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，再将其代入原方程解方程即可求出方程的根；（2）假设存在，设方程两根为x1 ， x2 ， 根据根与系数的关系可得出x1+x2=4m﹣8、x1x2=4m2 ， 结合 =136即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值，再由方程有解即可得出△=64﹣64m≥0，解不等式即可确定m的值，此题得解．
【考点精析】关于本题考查的求根公式和根与系数的关系，需要了解根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商才能得出正确答案．