Question

【题目】如图，抛物线交y轴于点A，并经过B（4，4）和C（6，0）两点，点D的坐标为（4，0），连接AD，BC，点E从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AD向点D运动，到达点D后，以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间为t秒，过点E作AB的垂线EF交直线AB于点F，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；

（3）设点E从点A出发时，点E，F，G都与点A重合，点E在运动过程中，当△BCG的面积为4时，直接写出相应的t值，并直接写出点G从出发到此时所经过的路径长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=；（3）当t1=秒，此时路径长度为，当t2=5秒，此时路径长度为．

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；

（2）先表示G的坐标，再把点G的坐标代入抛物线的解析式中列方程可得t的值；

（3）如图2，先计算当G在BD上时，t的值；

分三种情况进行讨论：

①当0≤t≤时，如图3，作辅助线，根据S△BCG=S梯形GHDB+S△BDC﹣S△GHC，列式可得t的值，利用勾股定理求AG的长即可；

②当G在BC上时，如图4，根据同角的三角函数得tan∠C==2，则GH=2HC，列关于t的方程得：t=；当＜t≤时，如图5，同理可得结论；

③当E与D重合时，F与B重合，如图6，此时t=4，计算此时△BCG的面积为2，因此点G继续向前运动；

当t＞4时，如图7，同理列方程可得结论．

试题解析：解：（1）将B（4，4）和C（6，0）代入抛物线得： ，解得： ，∴抛物线的解析式为： ；

（2）如图1，由题意得：AE=t，∵A（0，4），B（4，4），∴AB⊥y轴，且AB∥x轴，∵OA=OD=4，∴△AOD是等腰直角三角形，∴∠ADO=∠BAD=45°，∴△AFE是等腰直角三角形，∴AF=EF=t，∵△EFG是等腰直角三角形，∴G（t+t，4﹣t），即：点G（t，4﹣t），将点G（t，4﹣t）代入到抛物线得：　4﹣t=，解得：t1=0（舍），t2=．

答：当t=时，点G落在抛物线上；

（3）如图2，连接BD，当G在BD上时， t=4，t=，分三种情况讨论：

①当0≤t≤时，如图3，过G作GH⊥x轴于H，延长HG交AB于M，则GM⊥AB，∵B（4，4），D（4，0），∴BD⊥x轴，∴S△BCG=S梯形GHDB+S△BDC﹣S△GHC，4=（4﹣t+4）（4﹣t）+×4×（6﹣4）﹣（6﹣t）（4﹣t），4=t，解得：t=，∴AM=t =×=，GM=t=×=，在Rt△AGM中，由勾股定理得：AG===；

∴当t=时，此时点G运动的路径长为；

②当G在BC上时，如图4，tan∠C==2，∴GH=2HC，∴4﹣t=2（6﹣t），t=，当＜t≤时，如图5，S△BCG=S△BDC﹣S梯形BDHG﹣S△GHC，4=×4×2﹣（4﹣t+4）（t﹣4）﹣×（4-t）（6-t），t=（不在此范围内，不符合题意）；

③当E与D重合时，F与B重合，如图6，t==4，∴G（6，2），∴AG==，∴S△BCG=S梯形BDCG﹣S△BDC=×2×（4+2）﹣×2×4=2，∴当t＞4时，如图7，由题意得：DE=t﹣4，∴OE=t﹣4+4=t，∴OH=OE+EH=t+2，EH=2，GM=GH=2，BM=t+2﹣4=t﹣2，CH=t+2﹣6=t﹣4，过G作MH⊥x轴，交x轴于H，交直线AB于M，∴S△BGC=S梯形BCHM﹣S△BGM﹣S△GCH，4=（t﹣4+t﹣2）×4﹣×2×（t﹣2）﹣×2×（t﹣4），t=5，当t=5时，点G的运动路径分为两部分组成：

i）点G从A运动到D时，运动路径为：如图6中的AG长，即为；

ii）点G从D点继续在射线DC上运动1秒时，路径为1；

所以当t=5时，此时点G运动的路径长度为．

综上所述：当t1=秒，此时路径长度为，当t2=5秒，此时路径长度为．