Question

【题目】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分交BC于点E，且， ，连接OE．下列结论：①；②SABCD＝ABAC；③OB＝AB；④，成立的个数有_________个．

Answer 1

【答案】3

【解析】

由ABCD中，∠ADC=60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB=BC，证得①∠CAD=30°；继而证得AC⊥AB，得②SABCD=ABAC；可得OE是三角形的中位线，证得④OE=BC．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=BC，
∴AE=BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴SABCD=ABAC，故②正确，
∵AC⊥AB，
∴AB＜OB，故③错误；
∵∠CAD=30°，∠AEB=60°，AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴AE=CE，
∴BE=CE，
∵OA=OC，
∴OE=AB=BC，故④正确．

故正确的有3个.