Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=与直线y=﹣x﹣交于A、B两点，已知点B的横坐标是4，直线y=﹣x﹣与x、y轴的交点分别为A、C，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在直线y=﹣x﹣上方，求△PAC的最大面积；

（3）设M是抛物线对称轴上的一点，以点A、B、P、M为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）当m=时，取最大值，最大值为；（3）能，点P（﹣4，）或（2，）．

【解析】

试题分析：（1）将x=4代入直线y=﹣x﹣中求出y值，即可得出点B坐标，在令直线y=﹣x﹣中y=0，求出x值，从而得出点A的坐标，由点A、B两点的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）过点P作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，设出P点坐标，表示出Q的坐标，利用分割图形法求面积找出关于m的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题；

（3）假设能，由抛物线的解析式找出抛物线的对称轴，分线段AB为对角线和边两种情况来考虑，根据平行四边形的性质找出关于P点横坐标的一元一次方程，解方程即可求出P点的横坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出点P的坐标．

试题解析：（1）把x=4代入y=﹣x﹣=﹣×4﹣=﹣2，

∴点B的坐标为（4，﹣2），

把y=0代入y=﹣x﹣=0，

解得：x=﹣1，

∴点A的坐标为（﹣1，0），

把A，B代入y=，得：，解得：，

∴抛物线的解析式：y=；

（2）过点P作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，如图1所示．

设P（m，）（1＜m＜4），Q（m，﹣m﹣），

则PQ=﹣（﹣m﹣）=，

∵==OAPQ=×1×[﹣（﹣m﹣）]==（1＜m＜4），

∴当m=时，取最大值，最大值为；

（3）假设能．由（1）知抛物线的对称轴为x==1，

∴点M的横坐标为1，以点A、B、P、M为顶点的平行四边形有两种情况：

①当AB为平行四边形的边时，有，则﹣1﹣4=﹣1，

解得：=﹣4，即点P的横坐标为﹣4，

将x=﹣4代入y=，得：y=，

∴点P（﹣4，）；

②当AB为平行四边形的对角线时，有，则﹣（﹣1）=4﹣1，

解得：=2，即点P的横坐标为2，

将x=2代入y=，得：y=，

∴点P（2，）．

综上所述：以点A、B、P、M为顶点的四边形能成为平行四边形，点P的坐标为（﹣4，）或（2，）．