Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，OE，BD，

∵AB为圆O的直径，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，

∴DE=BE，

在△OBE和△ODE中，

，

∴△OBE≌△ODE（SSS），

∴∠ODE=∠ABC=90°，

则DE为圆O的切线

（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，

∴BC= AC，

∵BC=2DE=4，

∴AC=8，

又∵∠C=60°，DE=CE，

∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，

则AD=AC﹣DC=6

【解析】（1）要证切线可须连半径，再证直线和半径垂直，出现直径时，连直径的端点和圆周上一点构成90°的圆周角，进而利用斜边中线性质可证出；（2）由DE可求出BC，由30°性质可求出AB，再利用三角函数可求出AD.