Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（a，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．

（1）求点P（﹣2，3）的“2关联点”P′的坐标；

（2）若a、b为正整数，点P的“k关联点”P′的坐标为（3，6），求出k及点P的坐标；

（3）如图，点Q的坐标为（0，4），点A在函数y=﹣（x＜0）的图象上运动，且点A是点B的“﹣关联点”，当线段BQ最短时，求B点坐标．

Answer 1

【答案】（1）P′（﹣，﹣1）；（2）k=2，P′（1，4）、（2，2）；（3）B（，）．

【解析】

试题分析：（1）根据题中的新定义求出点P（﹣2，3）的“2关联点”P′的坐标即可；

（2）根据题中的新定义求出a与b的关系式即可；

（3）根据题意得出A（a﹣，﹣a+b），代入y=﹣（x＜0），求得b=a+2，从而求得B在直线y=x+2上，过Q作y=x+2的垂线QB1，垂足为B1，Q（0，4），且线段BQ最短，B1即为所求的B点，由△MB1Q∽△MON 得==，由ON=2，OM=2，根据勾股定理求得MN=4．由MQ=2，求得B1Q=，MB1=3，在Rt△MB1Q中，根据面积公式得到B1QMB1=MQhB1，即可求得B的坐标．

解：（1）∵x=﹣2+=﹣，y=2×（﹣2）+3=﹣1，

∴P′（﹣，﹣1）；

（2）设P（a，b），则P′（a+，ka+b）

∴，

∴k=2，

∴2a+b=6．

∵a、b为正整数

∴P′（1，4）、（2，2）；

（3）∵B的“﹣关联点”是A，

∴A（a﹣，﹣a+b），

∵点A还在反比例函数y=﹣的图象上，

∴（﹣a+b）（a﹣）=﹣4，

∴（b﹣a）2=12，

∵b﹣a＞0，

∴b﹣a=2，

∴b=a+2；

∴B在直线y=x+2上．

过Q作y=x+2的垂线QB1，垂足为B1，

∵Q（0，4），且线段BQ最短，

∴B1即为所求的B点，

由△MB1Q∽△MON 得==，

∵ON=2，OM=2，

∴MN=4．

又∵MQ=2，

∴B1Q=，MB1=3

在Rt△MB1Q中，B1QMB1=MQhB1，

∴hB1=，

∴xB1=，

∴B（，）．