Question

【题目】如图，已知直线l：y1=kx＋b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线y2=（a≠0，x＞0）分别交于D、E两点．若点D的坐标为(4，1)，点E的坐标为(1，4)

(1) 分别直接写出直线l与双曲线的解析式：

(2) 若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点

(3) 当y1＜y2时，直接写出x的取值范围

Answer 1

【答案】（1）反比例函数解析式为y=（x＞0）；直线l的解析式为y=-x+5；（2）当m=1时，直线l与双曲线有且只有一个交点；（3）当x＜1或x＞4时，y1＜y2.

【解析】

试题分析：（1）①运用待定系数法可分别得到直线l与双曲线的解析式；

②直线l向下平移m（m＞0）个单位得到y=-x+5-m，根据题意得方程组只有一组解时，化为关于x的方程得x2+（m-5）x+4=0，则△=（m-5）2-4×4=0，解得m1=1，m2=9，当m=9时，公共点不在第一象限，所以m=1；

(3)解方程组即可求解.

试题解析：（1）①把D（4，1）代入y=得a=1×4=4，

所以反比例函数解析式为y=（x＞0）；

设直线l的解析式为y=kx+t，

把D（4，1），E（1，4）代入得，

解得．

所以直线l的解析式为y=-x+5；

②直线l向下平移m（m＞0）个单位得到y=-x+5-m，

当方程组只有一组解时，直线l与双曲线有且只有一个交点，

化为关于x的方程得x2+（m-5）x+4=0，

△=（m-5）2-4×4=0，解得m1=1，m2=9，

而m=9时，解得x=-2，故舍去，

所以当m=1时，直线l与双曲线有且只有一个交点；

（3）解方程组得：x1=1，x2=4

故当x＜1或x＞4时，y1＜y2.