【题目】如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．

（1）当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；
（2）当BE=2EC时，求 的值；
（3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是 ，求n的值．

参考答案：

【答案】
（1）

证明；∵在矩形ABCD中，∠DCE=90°，F是斜边DE的中点，

∴CF= DE=EF，

∴∠FEC=∠FCE，

∵∠BFC=90°，E为BC中点，

∴EF=EC，

∴CF=CE，

在△BCF和△DEC中， ，

∴△BCF≌△DEC（ASA）


（2）

解：设CE=a，由BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a，

∵CF是Rt△DCE斜边上的中线，

∴CF= DE，

∵∠FEC=∠FCE，∠BFC=∠DCE=90°，

∴△BCF∽△DEC，

∴ ，

即： = ，

解得：ED2=6a2，

由勾股定理得：DC= = = a，

∴ = =


（3）

解：过C′作C′H⊥AF于点H，连接CC′交EF于M，如图所示：

∵CF是Rt△DCE斜边上的中线，

∴FC=FE=FD，

∴∠FEC=∠FCE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠ADF=∠CEF，

∴∠ADF=∠BCF，

在△ADF和△BCF中， ，

∴△ADF≌△BCF（SAS），

∴∠AFD=∠BFC=90°，

∵CH⊥AF，C′C⊥EF，∠HFE=∠C′HF=∠C′MF=90°，

∴四边形C′MFH是矩形，

∴FM=C′H= ，

设EM=x，则FC=FE=x+ ，

在Rt△EMC和Rt△FMC中，

由勾股定理得：CE2﹣EM2=CF2﹣FM2，

∴12﹣x2=（x+ ）2﹣（ ）2，

解得：x= ，或x=﹣ （舍去），

∴EM= ，FC=FE= + ；

由（2）得： ，

把CE=1，BE=n代入计算得：CF= ，

∴ = +

解得：n=4


【解析】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
【考点精析】利用直角三角形斜边上的中线和平行四边形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积．

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