Question

【题目】铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：

第x天	1≤x≤6	6＜x≤15
每天的销售量y/盒	10	x+6

（1）求p与x的函数关系式；

（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？

（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．

Answer 1

【答案】（1）p=x+18；（2）第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；（3）第7、8、9、10、11、12、13、14、15天共9天销售利润不低于325元

【解析】试题分析：（1）设p=kx+b（k≠0），然后根据第3天和第7天的成本利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；

（2）根据销售利润=每盒的利润×盒数列出函数关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的最值问题求解；

（3）根据（2）的计算以及二次函数与一元二次方程的关系求解．

试题解析：（1）设p=kx+b（k≠0），∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，∴，解得： ，所以p=x+18；

（2）1≤x≤6时，w=10[50﹣（x+18）]=﹣10x+320，6＜x≤15时，w=[50﹣（x+18）]（x+6）=﹣x2+26x+192，所以，w与x的函数关系式为，

当1≤x≤6时，∵﹣10＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x=1时，w最大为﹣10+320=310，6＜x≤15时，w=﹣x2+26x+192=﹣（x﹣13）2+361，∴当x=13时，w最大为361，

综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；

（3）w=325时，﹣x2+26x+192=325，x2﹣26x+133=0，解得x1=7，x2=19，所以，7≤x≤13时，即第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．