Question

【题目】如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H．
（1）求证：△EDC≌△HFE；
（2）连接BE、CH．四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论．
（3）连接BE、CH．当AB与BC的比值为时，四边形BEHC为菱形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵矩形FECG由矩形ABCD旋转得到，

∴FE=AB=DC，∠F=∠EDC=90°，FH∥EC，

∴∠FHE=∠CED．

在△EDC和△HFE中， ，

∴△EDC≌△HFE．

（2）证明：①四边形BEHC为平行四边形，

∵△EDC≌△HFE，

∴EH=EC．

∵矩形FECG由矩形ABCD旋转得到，

∴EH=EC=BC，EH∥BC，

∴四边形BEHC为平行四边形．

（3）
【解析】（3）解：连接BE．
∵四边形BEHC为菱形，
∴BE=BC．
由旋转的性质可知BC=EC．
∴BE=EC=BC．
∴△EBC为等边三角形．
∴∠EBC=60°．
∴∠ABE=30°．
∴AB：BE= ：2．
又∵BE=CB，
∴AB与BC的比值= ．
故答案为： ．
（1）依据题意可得到FE=AB=DC，∠F=∠EDC=90°，FH∥EC，利用平行线的性质可证明∠FHE=∠CED，然后依据AAS证明△EDC≌△HFE即可；（2）由全等三角形的性质可知EH=EC，由旋转的性质可得到BC=EC，从而可证明EH=BC，最后依据平行四边形的判定定理进行证明即可；（3）连接BE．可证明△EBC为等边三角形，则∠ABE=30°，利用特殊锐角三角函数值可得到AB：BE= ：2．