Question

【题目】如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB=3，BC=2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止，△ADP以直线AP为轴翻折，点D落在点D1的位置，设DP=x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y．

（1）当x为何值时，直线AD1过点C？
（2）当x为何值时，直线AD1过BC的中点E？
（3）求出y与x的函数表达式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

如图1，∵由题意得：△ADP≌△AD1P，

∴AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，

∵直线AD1过C，

∴PD1⊥AC，

在Rt△ABC中，AC= = ，CD1= ﹣2，

在Rt△PCD1中，PC2=PD12+CD12，

即（3﹣x）2=x2+（ ﹣2）2，

解得：x= ，

∴当x= 时，直线AD1过点C

（2）

解：如图2，

连接PE，

∵E为BC的中点，

∴BE=CE=1，

在Rt△ABE中，AE= = ，

∵AD1=AD=2，PD=PD1=x，

∴D1E= ﹣2，PC=3﹣x，

在Rt△PD1E和Rt△PCE中，

x2+（ ﹣2）2=（3﹣x）2+12，

解得：x= ，

∴当x= 时，直线AD1过BC的中点E；

（3）

解：如图3，

当0＜x≤2时，y=x，

如图4，

当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠2，

∵∠1=∠3（根据折叠），

∴∠2=∠3，

∴AF=PF，

作PG⊥AB于G，

设PF=AF=a，

由题意得：AG=DP=x，FG=x﹣a，

在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x﹣a）2+22=a2，

解得：a= ，

所以y= = ，

综合上述，当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=

【解析】（1）根据折叠得出AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（2）连接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE，求出AD1=AD=2，PD=PD1=x，D1E= ﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（3）分为两种情况：当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x﹣a）2+22=a2 ， 求出a即可．
【考点精析】掌握全等三角形的性质和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．