Question

【题目】已知：AB为⊙O的直径，AB=2，弦DE=1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在⊙O上运动且保持长度不变，⊙O的切线DF交BC于点F．
（1）如图1，若DE∥AB，求证：CF=EF；

（2）如图2，当点E运动至与点B重合时，试判断CF与BF是否相等，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1，连接OD、OE，

∵AB=2，

∴OA=OD=OE=OB=1，

∵DE=1，

∴OD=OE=DE，

∴△ODE是等边三角形，

∴∠ODE=∠OED=60°，

∵DE∥AB，

∴∠AOD=∠ODE=60°，∠EOB=∠OED=60°，

∴△AOD和△△OE是等边三角形，

∴∠OAD=∠OBE=60°，

∴∠CDE=∠OAD=60°，∠CED=∠OBE=60°，

∴△CDE是等边三角形，

∵DF是⊙O的切线，

∴OD⊥DF，

∴∠EDF=90°﹣60°=30°，

∴∠DFE=90°，

∴DF⊥CE，

∴CF=EF

（2）

相等；

如图2，点E运动至与点B重合时，BC是⊙O的切线，

∵⊙O的切线DF交BC于点F，

∴BF=DF，

∴∠BDF=∠DBF，

∵AB是直径，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

∴∠FDC=∠C，

∴DF=CF，

∴BF=CF．

【解析】（1）如图1，连接OD、OE，证得△OAD、△ODE、△OEB、△CDE是等边三角形，进一步证得DF⊥CE即可证得结论；（2）根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可证得结论．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．