Question

【题目】如图1，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD，CD.

（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；

（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）BD⊥AC,BD=AC（2）BD⊥AC,BD=AC

【解析】试题分析：

（1）延长BD交AC于点F，用SAS证明△BDE≌△ACE即可解题；

（2）用SAS证明△BDE≌△ACE可得BD=AC，再证∠AFB=90°即可.

（1）BD⊥AC,BD=AC.

试题解析：

证明：延长BD交AC于点F. ∵AE⊥BC于点E, ∴∠BED=∠AEC=90°.又AE=BE,DE=CE, ∴△DBE≌△CAE(SAS). ∴BD=AC, ∠DBE=∠CAE,∠BDE=∠ACE. ∵∠BDE=∠ADF, ∴ ∠ADF=∠ACE. ∵∠ACE+∠CAE=90°, ∴∠ADF+∠CAE=90°. ∴BD⊥AC.

（2）BD⊥AC,BD=AC.

证明： ∵∠AEB=∠DEC=90°, ∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED,即∠BED=∠AEC.又AE=BE,DE=CE, ∴△DBE≌△CAE(SAS). ∴BD=AC, ∠DBE=∠CAE,∠BDE=∠ACE. ∵∠BFC=∠ACD+∠CDE +∠BDE=∠ACD+∠CDE +∠ACE=∠ECD+∠CDE=90°, ∴BD⊥AC.