Question

【题目】某厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝－2x＋100．（利润＝售价－制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

Answer 1

【答案】（1）z＝－2x2＋136x－1800；（2）当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润为512万元；（3）每月最低制造成本为648万元

【解析】（1）根据每月的利润z=（x-18）y，再把y=-2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式；
（2）把z=350代入z=-2x2+136x-1800，解这个方程即可，将z═-2x2+136x-1800配方，得z=-2（x-34）2+512，即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是多少．
（3）结合（2）及函数z=-2x2+136x-1800的图象即可求出当25≤x≤43时z≥350，再根据限价32元，得出25≤x≤32，最后根据一次函数y=-2x+100中y随x的增大而减小，即可得出当x=32时，每月制造成本最低，最低成本是18×（-2×32+100）

解：（1）z=（x-18）y=（x-18）（-2x+100）
=-2x2+136x-1800，
∴z与x之间的函数解析式为z=-2x2+136x-1800；
（2）由z=350，得350=-2x2+136x-1800，
解这个方程得x1=25，x2=43
所以，销售单价定为25元或43元，
将z═-2x2+136x-1800配方，得z=-2（x-34）2+512，
答；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；
（3）结合（2）及函数z=-2x2+136x-1800的图象（如图所示）可知，

当25≤x≤43时z≥350，
又由限价32元，得25≤x≤32，
根据一次函数的性质，得y=-2x+100中y随x的增大而减小，
∵x最大取32，
∴当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（-2×32+100）=648（万元），答：每月最低制造成本为648万元．

“点睛”本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式，综合利用二次函数和一次函数的性质解决实际问题．