Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有个．

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】C

【解析】∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°.

∵△AEF等边三角形，

∴AE=EF=AF,∠EAF=60°.

∴∠BAE+∠DAF=30°.

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AE=AF,AB=AD，

Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，

∴BE=DF(故①正确).

∠BAE=∠DAF，

∴∠DAF+∠DAF=30°，

即∠DAF=15°(故②正确)，

∵BC=CD，

∴BCBE=CDDF，即CE=CF，

∵AE=AF，

∴AC垂直平分EF.(故③正确).

设EC=x，由勾股定理，得

EF=x,CG=x，

AG=AEsin60=EFsin60=2×CGsin60=x，

∴AC=，

∴AB=，

∴BE=x=，

∴BE+DF=xx≠x,(故④错误)，

∵S△CEF=x2，

S△ABE= ，

∴2S△ABE=x2=S△CEF,(故⑤正确).

综上所述，正确的有4个，

故选：C.