Question

【题目】如图，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：

；；点、、是该抛物线上的点，则；；（为任意实数）．

其中正确结论的个数是（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】C

【解析】

逐一分析5条结论是否正确：（1）由抛物线与x轴有两个不相同的交点结合根的判别式即可得出该结论正确；（2）根据抛物线的对称轴为x＝1，即可得出b＝2a，即（2）正确；（3）根据抛物线的对称性找出点（，y3）在抛物线上，再结合抛物线对称轴左边的单调性即可得出（3）错误；（4）由x＝3时，y＜0，即可得出3a＋c＜0，结合b＝2a即可得出（4）正确；（5）由方程at2＋bt＋a＝0中△＝b24aa＝0结合a＜0，即可得出抛物线y＝at2＋bt＋a中y≤0，由此即可得出（5）正确．综上即可得出结论．

（1）由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，

∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝b24ac＞0，

∴（1）正确；

（2）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝1，

∴＝1，

∴2a＝b，

∴（2）正确；

（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，点（，y3）在抛物线上，

∴（，y3）．

∵＜＜，且抛物线对称轴左边图象y值随x的增大而增大，

∴y1＜y3＜y2．

∴（3）错误；

（4）∵当x＝3时，y＝9a3b＋c＜0，且b＝2a，

∴9a3×2a＋c＝3a＋c＜0，

∴6a＋2c＝3b＋2c＜0，

∴（4）正确；

（5）∵b＝2a，

∴方程at2＋bt＋a＝0中△＝b24aa＝0，

∴抛物线y＝at2＋bt＋a与x轴只有一个交点，

∵图中抛物线开口向下，

∴a＜0，

∴y＝at2＋bt＋a≤0，

即at2＋bt≤a＝ab．

∴（5）正确．

故选：C．