Question

【题目】类似于平面直角坐标系，如图1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系．若P是斜坐标系xOy中的任意一点，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，如果M、N在x轴、y轴上分别对应的实数是a、b，这时点P的坐标为（a，b）．

（1）如图2，在斜坐标系xOy中，画出点A（﹣2，3）；

（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B（5，0）、C（0，4），且P（x，y）是线段CB上的任意一点，则y与x之间的等量关系式为 ；

（3）若（2）中的点P在线段CB的延长线上，其它条件都不变，试判断（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3x+4y=12；（3）仍然成立

【解析】

试题分析：（1）作AM∥y轴，AM与x轴交于点M，AN∥x轴，AN与y轴交于点N，构建菱形AMON，然后根据菱形的性质以及等边三角形的判定与性质来求OA的长度；

（2）过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，则 PN=x，PM=y；根据平行线截线段成比例分别列出关于x、y的比例式、；再由线段间的和差关系求得PC+BP=BC知；

（3）当点P在线段BC的延长线上时，上述结论仍然成立．理由如下：这时 PN=﹣x，PM=y，证明过程同（2）．

（1）作AM∥y轴，AM与x轴交于点M，AN∥x轴，AN与y轴交于点N，构建菱形AMON，然后根据菱形的性质以及等边三角形的判定与性质来求OA的长度；

（2）过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，则 PN=x，PM=y；根据平行线截线段成比例分别列出关于x、y的比例式、；再由线段间的和差关系求得PC+BP=BC知；

（3）当点P在线段BC的延长线上时，上述结论仍然成立．理由如下：这时 PN=﹣x，PM=y，证明过程同（2）．

试题解析：（1）如图1作AM∥y轴，AM与x轴交于点M，AN∥x轴，AN与y轴交于点N，

则四边形AMON为平行四边形，且OM=ON，

∴AMON是菱形，OM=AM

∴OA平分∠MON，

又∵∠xOy=60°，

∴∠MOA=60°，

∴△MOA是等边三角形，

∴OA=OM=2；

（2）过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，

则 PN=x，PM=y，

由PN∥OB，得即；

由PM∥OC，得，即；

∴，

即 3x+4y=12；

故答案为：3x+4y=12；

（3）（2）中的结论仍然成立，如图3，当点P在线段BC的延长线上时，上述结论仍然成立．理由如下：这时 PN=﹣x，PM=y，

与（2）类似，，．

又∵．

∴，．