Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s．FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．

（1）连结EF、DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值；
（2）连结EP，设△EPC的面积为ycm2 ， 求y与t的函数关系式，并求y的最大值；
（3）若△EPQ与△ADC相似，请直接写出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在矩形ABCD中，∵AB=6cm，BC=8cm，

∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠B=90°，

∴由勾股定理得：AC=10，

∵FQ⊥BC，

∴∠FQC=90°，

∴四边形CDFQ是矩形，

∴DF=QC，DC=FQ=6cm，

∵点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，

∴t秒后，BE=2t，DF=QC=t，

∴EQ=BC﹣BE﹣QC=8﹣3t，

∵四边形EQDF为平行四边形，

∴FD=EQ，

即：8﹣3t=t，

解得：t=2；

（2）

解：∵∠FQC=90°，∠B=90°，

∴∠FQC=∠B，

∴PQ∥AB，

∴△CPQ∽△CAB，

∴ ，

即 ，

∴PQ= ，

∵S△EPC= ECPQ，

∴y= （8﹣2t） =﹣ 2+3t=﹣ （t﹣2）2+3，

即y=﹣ （t﹣2）2+3，

∵a=﹣ ＜0，

∴y有最大值，当x=2时，y的最大值为3；

（3）

解：分两种情况讨论：

若E在FQ左边，

①当△EPQ∽△ACD时，

可得： ，

即： ，

解得：t=2；

②当△EPQ∽△CAD时，

可得： ，

即 ，

解得：t= ．

若E在FQ右边，

③当△EPQ∽△ACD时，

可得： ，

即： ，

解得：t=4（舍去）；

④当△EPQ∽△CAD时，

可得： ，

即 ，

解得：t= ．

故若△EPQ与△ADC相似，则t的值为：2或 或 ．

【解析】（1）由四边形EQDF为平行四边形，可得：DF=EQ，然后分别用含有t的式子表示DF与EQ即可求t的值；（2）先证明△CPQ∽△CAB，然后根据相似三角形的对应边成比例，用含有t的式子表示PQ，然后根据三角形的面积公式即可y与t的函数关系式，然后根据二次函数的最值公式计算即可；（3）首先分别从点E在FQ左边与右边，再由△EPQ∽△ACD；△EPQ∽△CAD．然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求出相应的t的值．