Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．

（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；

（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；

（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？

（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣2）2+；（2）．（3）﹣；（4）在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（，）．

【解析】

试题分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先求出GH，点F的坐标，用三角形的面积公式计算即可；（3）设出点M，用勾股定理求出点M的坐标，从而求出MD，最后求出时间t；（4）由∠PBF被BA平分，确定出过点B的直线BN的解析式，求出此直线和抛物线的交点即可．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，

∴

∴，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣2）2+；

（2）如图1，

过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，

由（1）有，C（0，﹣2），

∵B（0，3），

∴直线BC解析式为y=x﹣2，

∵H（1，y）在直线BC上，

∴y=﹣，

∴H（1，﹣），

∵B（3，0），E（0，﹣1），

∴直线BE解析式为y=﹣x﹣1，

∴G（1，﹣），

∴GH=，

∵直线BE：y=﹣x﹣1与抛物线y=﹣x2+x﹣2相较于F，B，

∴F（，﹣），

∴S△FHB=GH×|xG﹣xF|+GH×|xB﹣xG|

=GH×|xB﹣xF|

=××（3﹣）

=．

（3）如图2，

由（1）有y=﹣x2+x﹣2，

∵D为抛物线的顶点，

∴D（2，），

∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，

∴设M（2，m），（m＞），

∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9，

∵∠OMB=90°，

∴OM2+BM2=AB2，

∴m2+4+m2+1=9，

∴m=或m=﹣（舍），

∴M（0，），

∴MD=﹣，

∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，

∴t=﹣；

（4）存在点P，使∠PBF被BA平分，

如图3，

∴∠PBO=∠EBO，

∵E（0，﹣1），

∴在y轴上取一点N（0，1），

∵B（3，0），

∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①，

∵点P在抛物线y=﹣x2+x﹣2②上，

联立①②得，或（舍），

∴P（，），

即：在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（，）．