Question

【题目】在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为60°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y=x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是

Answer 1

【答案】（ ，3）或（ ， ）或（ ， ）或（2，2 ）
【解析】解：①如图1，当∠POQ=∠OAH=30°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
∵∠AOH=60°，
∴直线OA：y= x，
联立抛物线的解析式得： ，
解得： 或 ，
故A（ ，3）；
②当∠POQ=∠AOH=60°，此时△POQ≌△AOH，
易知∠POH=30°，则直线y= x，联立抛物线的解析式，
得： ，
解得： 或 ，
故P（ ， ），那么A（ ， ）；
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°时，此时△QOP≌△AOH；
易知∠POH=30°，则直线y= x，联立抛物线的解析式，
得： ，
解得： 或 ，
故P（ ， ），
∴OP= = ，QP= ，
∴OH=OP= ，AH=QP= ，
故A（ ， ）；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此时△OQP≌△AOH；
此时直线y= x，联立抛物线的解析式，
得： ，
解得： 或 ，
∴P（ ，3），
∴QP=2，OP=2 ，
∴OH=QP=2，AH=OP=2 ，
故A（2，2 ）．
综上可知：符合条件的点A有四个，分别为：（ ，3）或（ ， ）或（ ， ）或（2，2 ）．
故答案为：（ ，3）或（ ， ）或（ ， ）或（2，2 ）．
由于两三角形的对应边不能确定，故应分四种情况进行讨论：
①∠POQ=∠OAH=30°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
②∠POQ=∠AOH=60°，此时∠POH=30°，即直线OP：y= x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°时，此时△QOP≌△AOH，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此时△OQP≌△AOH，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论．