Question

【题目】如图，CD和BE是△ABC的两条高，∠BCD=45°，BF=FC，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ACD=∠CBE．

（1）判断△ABC的形状并说明理由；

（2）小明说：BH的长是AE的2倍．你认为正确吗？请说明理由．

（3）若BG=n2+1，GE=n2﹣1，求BH的长．

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形，理由见解析；（2）正确，理由见解析；（3）BH=4n．

【解析】

试题分析：（1）由CD和BE是△ABC的两条高，于是得到∠A=∠ACD+∠A=90°，于是得到∠ABE=∠ACD，由于∠ACD=∠CBE，折叠∠ABE=∠CBE，通过△BAE≌△BCE，根据全等三角形的性质得到BA=BC，于是得到结论；

（2）根据等腰直角三角形的性质得到BD=DC证得△BDH≌△CDA，根据全等三角形的性质得到BH=AC，根据直角三角形的性质得到AC=2AE，BH=2AE，即可得到结论；

（3）连接GC，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解：（1）∵CD和BE是△ABC的两条高，

∴∠A=∠ACD+∠A=90°，

∴∠ABE=∠ACD，

∵∠ACD=∠CBE，

∴∠ABE=∠CBE，

∵∠BEA=∠BEC=90°，

在△BAE与△BCE中，，

∴△BAE≌△BCE，

∴BA=BC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵∠BDC=90°，∠BCD=45°，

∴BD=DC，

∵∠BDH=∠CDA=90°，

在△BDH与△CDA中，，

∴△BDH≌△CDA，

∴BH=AC，

∵BE⊥AC，

∴AC=2AE，

BH=2AE，

∴小明说的正确；

（3）连接GC，则GC=BG=n2+1，

在Rt△GEC中，

CE2=GC2﹣GE2=（n2+1）2﹣（n2﹣1）2=4n2，

∴CE=2n，

∴AC=2CE=4n，

∴BH=4n．