Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，BE=DF，AE=CF．
（1）求证：△AFD≌△CEB；
（2）若∠CBE=∠BAC，四边形ABCD是怎样的四边形？证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠AFD=∠CEB=90°．

∵AE=FC，

∴AE+EF=FC+EF，

∴AF=CE，

又∵BE=DF，

∴△AFD≌△CEB；

（2）证明：四边形ABCD为矩形．

∵△AFD≌△CEB，

∴AD=BC，∠BCE=∠DAF．

∴AD∥BC，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∵∠CBE=∠BAC，

又∵∠CBE+∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠ACB=90°，

∴∠ABC=90°，

∴四边形ABCD为矩形．

【解析】（1）求出AF=CE，再利用“边角边”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得AD=BC，全等三角形对应角相等可得∠BCE=∠DAF，再根据内错角相等，两直线平行证明AD∥BC，然后判断出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．