Question

【题目】在正方形ABCD中，连接BD．
（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．

（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．
（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ABD=∠ADB=45°，

∵AE⊥BD，

∴∠ABE=∠BAE=45°，

（2）解：①依题意补全图形，如图1所示，

②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2，

将△AND绕点D顺时针旋转90°，得到△AFB，

∴∠ADB=∠FBA，∠BAF=∠DAN，DN=BF，AF=AN，

∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，

∴∠ADB=∠ABD=45°，

∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°，

在Rt△BFM中，根据勾股定理得，FB2+BM2=FM2，

∵旋转△ANE得到AB1E1，

∴∠E1AB1=45°，

∴∠BAB1+∠DAN=90°﹣45°=45°，

∵∠BAF=DAN，

∴∠BAB1+∠BAF=45°，

∴∠FAM=45°，

∴∠FAM=∠E1AB1，

∵AM=AM，AF=AN，

∴△AFM≌△ANM，

∴FM=MN，

∵FB2+BM2=FM2，

∴DN2+BM2=MN2，

（3）解：如图2，

将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，

∴DF=GB，

∵正方形ABCD的周长为4AB，

△CEF周长为EF+EC+CF，

∵△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，

∴4AB=2（EF+EC+CF），

∴2AB=EF+EC+CF

∵EC=AB﹣BE，CF=AB﹣DF，

∴2AB=EF+AB﹣BE+AB﹣DF，

∴EF=DF+BE，

∵DF=GB，

∴EF=GB+BE=GE，

由旋转得到AD=AG=AB，

∵AM=AM，

∴△AEG≌△AEF，

∠EAG=∠EAF=45°，

和（2）的②一样，得到DN2+BM2=MN2．

【解析】（1）利用正方形性质和等腰直角三角形性质可求出；（2）通过旋转构造全等三角形，即△AND全等于△AFB， 进而∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°，得到△AFM≌△ANM，转化FM=MN，进而得出三边之间的勾股关系; （3）借鉴（2）的思路方法，仍可采用旋转法，构造全等三角形△ADF△ABG，进一步△AEG≌△AEF，得出三边之间的关系.
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念，需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案．