Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）求证：四边形MPNQ是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，

∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，

∴AM= AD，CN= BC，

∴AM=CN，

在△MAB和△NDC中，

∵ ，

∴△MBA≌△NDC（SAS）

（2）证明：四边形MPNQ是菱形．

理由如下：连接AP，MN，

则四边形ABNM是矩形，

∵AN和BM互相平分，

则A，P，N在同一条直线上，

易证：△ABN≌△BAM，

∴AN=BM，

∵△MAB≌△NDC，

∴BM=DN，

∵P、Q分别是BM、DN的中点，

∴PM=NQ，

∵ ，

∴△MQD≌△NPB（SAS）．

∴四边形MPNQ是平行四边形，

∵M是AD中点，Q是DN中点，

∴MQ= AN，

∴MQ= BM，

∵MP= BM，

∴MP=MQ，

∴平行四边形MQNP是菱形．

【解析】（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，有（1）可得到BM=DN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形
【考点精析】认真审题，首先需要了解菱形的判定方法(任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形)，还要掌握矩形的性质(矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等)的相关知识才是答题的关键．