【题目】已知抛物线经过点E（1，0）和F（5，0），并交y轴于D（0，-5）；抛物线：（a≠0），

（1）试求抛物线的函数解析式；

（2）求证： 抛物线 与x轴一定有两个不同的交点；

（3）若a=1

①抛物线、顶点分别为 （ ， ）、（ ， ） ；当x的取值范围是_________ 时，抛物线、 上的点的纵坐标同时随横坐标增大而增大；

②已知直线MN分别与x轴、、分别交于点P（m，0）、M、N，且MN∥y轴，当1≤m≤5时，求线段MN的最大值。

参考答案：

【答案】（1）（2）证明见解析（3）8

【解析】试题分析：

试题解析：

（1）设的解析式为y=a（x-1）（x-5），

当x=0，y=-5，

∴-5=a（-1）×（-5），∴a=-1，

∴=。

（2）△====＞0，

∴抛物线与x轴一定有两个不同的交点。

（3）当a=1时，①、的顶点分别为（3，4）、（2，-1），当2≤x≤3时，抛物线、 上的点的纵坐标同时随横坐标增大而增大;

② 的顶点为（2，-1），对称轴为x=2，与x轴的交点为（3，0），（1，0），与的交点为（1，0），（4，3），

当1≤m≤4时，

MN====-2+。

当x=时，MN最大；

当4＜m≤5时，MN==，

∵MN=有最小值，但在对称轴右边MN随x增大而增大，

当m=5时，MN最大=225-50+8=8。

综合上述MN最大值为8

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