Question

【题目】数学课上林老师出示了问题：如图，AD∥BC，∠AEF=90°AD=AB=BC=DC，∠B=90°，点E是边BC的中点，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．

同学们作了一步又一步的研究：

（1）、经过思考，小明展示了一种解题思路：如图1，取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF，小明的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）、小颖提出一个新的想法：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（3）、小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）、正确；证明过程见解析；（2）、正确；证明过程见解析；（3）、正确；证明过程见解析.

【解析】

试题分析：（1）、首先根据题意得出AM=EC，BM=BE，∠BME=45°，∠AME=135°，根据角平分线的性质得出∠DCF=45°，∠ECF=135°，从而说明△AME和△BCF全等，从而得出答案；（2）、在AB上取一点M，使AM=BC，连接ME，然后同第一题同样的方法证明△AME和△BCF全等，从而得出答案；（3）、在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE，然后证明△ANE和△ECF全等，从而得出答案.

试题解析：（1）、正确．

∵M是AB的中点，E是BC的中点 AB=BC

∴AM=EC BM=BE ∴∠BME=45° ∠AME=135°

∵CF是∠DCG的平分线 ∴∠DCF=45° ∠ECF=135°

∴∠AME=∠ECF ∵∠AEB+∠BAE=90° ∠AEB+∠CEF=90° ∴∠BAE=∠CEF

∴△AME≌△BCF（ASA） ∴AE=EF

（2）、正确．

在AB上取一点M，使AM=BC，连接ME．

∴BM=BE ∴∠BME=45°∴∠AME=135°，

∵CF是∠DCG的平分线 ∴∠DCF=45° ∠ECF=135°

∴∠AME=∠ECF ∵∠AEB+∠BAE=90° ∠AEB+∠CEF=90° ∴∠BAE=∠CEF

∴△AME≌△BCF（ASA） ∴AE=EF

（3）、正确．

在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE．

∴BN=BE ∠N=∠PCE=45°

∵AD∥BE ∴∠DAE=∠BAE ∴∠NAE=∠CEF ∴△ANE≌△ECF（ASA） ∴AE=EF