【题目】如图所示,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,∠A=90°.取一块含45°角的直角三角尺,将直角顶点放在斜边BC的中点O处,一条直角边过点A(如图1).三角尺绕点O顺时针方向旋转,使90°角的两边与Rt△ABC的两边AB,AC分别相交于点E,F(如图2).设BE=x,CF=y.

(1)探究:在图2中,线段AE与CF有怎样的大小关系?证明你的结论.

(2)求在上述旋转过程中y与x的函数表达式,并写出x的取值范围.

(3)若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边BC边的中点O处,一条直角边过点A(如图3).三角尺绕O点顺时针方向旋转,使45°角的两边与Rt△ABC的两边AB,AC分别相交于点E,F(如图4).在三角尺绕点O旋转的过程中,△OEF是否能成为等腰三角形?若能,直接写出△OEF为等腰三角形时x的值;若不能,请说明理由.

参考答案：

【答案】(1)AE=CF；(2) y=2-x（0≤x≤2）；(3)△OEF为等腰三角形时x的值为1或 或2.

【解析】试题分析：（1）首先得出，∠EAO=∠C=45°，AO=OC，∠EOA=∠FOC，进而得出△EOA≌△FOC，即可得出答案；

（2）利用AE=CF，得出BE+CF=BE+AE=AB=2，即x+y=2，即可得出答案；

（3）利用OE=EF时，点E为AB中点，点F与点A重合，当OE=OF时，BE=BO=CO=CF=，当EF=OF时，点E与点A重合，点F为AC中点，进而得出答案．

试题解析：（1）AE=CF，

理由：连接AO．如图2，

∵AB=AC，点O为BC的中点，∠BAC=90°，

∴∠AOC=90°，∠EAO=∠C=45°，AO=OC，

∵∠EOF=90°，∠EOA+∠AOF=90°，∠COF+∠AOF=90°，

∴∠EOA=∠FOC，

在△EOA和△FOC中，

,

∴△EOA≌△FOC（ASA），

∴AE=CF；

（2）∵AE=CF，∴BE+CF=BE+AE=AB=2，即x+y=2，

∴y与x的函数关系式：y=2-x，

x的取值范围是：0≤x≤2；

（3）△OEF能构成等腰三角形．

当OE=EF时，如图3，点E为AB中点，点F与点A重合，BE=AE=1，即x=1，

当OE=OF时，如图4，BE=BO=CO=CF=，即x=，

当EF=OF时，如图5，点E与点A重合，点F为AC中点，即x=2，

综上所述：△OEF为等腰三角形时x的值为1或或2．

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